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盘点有限元的说明以及作用

作者:admin 时间:2019-06-04284 次浏览

有限元法是解决数学问题的有效方法。基本的解决思路是将计算区域划分为有限个不重叠的单元。在每个单元中,选取合适的节点作为解函数的插值点,单元上的作用力等效于节点。利用变分原理或加权残差法,将微分方程中的变量重写为一个由每个变量或其导数的节点值和选定的插值函数组成的线性表达式,即近似为交叉值函数。微分方程采用离散化方法求解。


主要结果如下:

(1)连续体分为有限部分,形状由有限的参数决定;

(2)将集离散成有限元法求解时,有限元应满足连续体所遵循的规则,如力平衡等。

用有限元法求解问题的基本步骤通常如下:

第一步:问题和解域的定义:求解域的物理性质和几何区域是根据实际问题近似确定的。

第二步:解域的离散化:解域近似为由不同尺寸和形状的有限元组成的离散域,它们相互连接,通常称为有限元网络划分。显然,单元越小(网络越细),离散域的近似程度越好,计算结果越精确,但计算量和误差都会增加,因此求解域的离散化是有限元法的核心技术之一。

第三步:确定状态变量和控制方法:一个具体的物理问题通常可以用一组微分方程表示,其中包含问题的状态变量的边界条件,适合于有限元求解。微分方程通常被转化为等价的函数形式。

第四步:单元推导:构造单元的适当近似解,即推导出有限元的表达式,包括选择合理的单元坐标系,建立单元试验函数,并以某种方式给出单元各状态变量的离散关系。因此,单元矩阵(结构力学中称刚度阵或柔度阵)就形成了。

为了确保问题求解的收敛性,在元素推导中有许多需要遵循的原则。对于工程应用来说,关注每个单元的问题求解性能和约束是非常重要的。例如,元素的形状应该是规则的,不仅精度低,而且存在缺乏等级的风险,这将使问题无法解决。

第五步:总成解:单元装配成离散域的一般矩阵方程(联合方程组),反映了近似解域离散域的要求,即单元函数的连续性应满足一定的连续性条件。程序集在相邻的元素节点上执行,状态变量及其导数(可能的话)的连续性是基于该节点的。

第六步:联立方程的求解和结果解释:有限元法最终导致联立方程。直接法、选择法和随机法可用于求解联立方程。结果是元素节点状态变量的一个近似值。对于计算结果的质量,计算结果的质量将通过与设计标准所提供的允许值进行比较来评估和确定。

有限元有什么用

有限元法是求解复杂工程问题的近似数值解,可以说是数值模拟技术中最成功的方法。

目前广泛应用于建筑、机械、航天、交通、国防、水利、电子、电器等领域。环境工程和其他学科。

随着计算机技术的飞速发展和性能的不断提高,用有限元法分析工程问题的优化设计和研究也将不断增加。

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