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有限元方法的核心思想是什么

时间 : 2019-07-10   浏览量:...

有限元法(FiniteElementMethod)是在现代计算机飞速发展的基础上发展起来的一种近似数值方法,用于求解力学和数学中具有特定边界条件的偏微分方程问题(PDE),这些偏微分方程是工程实践中固体力学和流体力学问题的基础。有限元法和计算机的发展共同构成了现代ComputationalMechanics的基础,有限元法的核心思想是"数值近似"和"离散化",因此它在历史上的发展也是围绕这两点展开的。


今天华辰有限元科技为大家解读数值近似的概念

在有限元法发明之前,所有力学和工程问题中的偏微分方程只能用简单的AnalyticalSolution(AnalyticalSolution)来求解。这种方法是高度数学的,很大程度上依赖于某种理想化的Assumption(Assumption)。

例如,在土木工程中,梁和柱的计算中出现了扁截面、小应变和理想塑性的假设。这些假设实际上与实际工程问题有很大的偏差,一旦工程问题稍微复杂,我们就无法直接得到解析解,或者解析解的答案误差太大。有限元法将复杂的整体结构离散为有限元(FiniteElement),将理想的假设和力学控制方程应用于结构的各个单元,然后通过单元分析和装配得到结构的总刚度方程,然后利用边界条件和其他约束条件得到结构的总响应。

一般结构中各单元的反应可以通过逐个映射总反应来得到,从而可以直接避免复杂结构的力学和数学模型。整个过程可以描述为:本文综述了结构的离散化、单元力学分析、单元装配、整体结构分析、应用边界条件,得到了结构中单元的总反应,以及单元在结构中的反应分析。

在单元分析和单元内响应分析中,采用形状函数插值和高斯数值积分(shapefunctioninterpolation)来逼近单元中任意点的反应,这是有限元数值逼近的重要体现。一般来说,形状函数的阶数越高,近似精度越高,但单元控制点和高斯积分点的个数也越多,单元划分越细,近似结果越精确。然而,提高有限元精度的代价是几何倍数的增加。

为了提高数值逼近的精度和尽可能少地提高计算量,有限元法经历了许多发展和改进。下面的图是一个典型的有限元问题,由于模型中间腔的几何不规则性,将结构划分为有限元三角形单元。由于外部结构反应的变化程度不大,划分的单元较大且粗糙,而内部应力变化较大,划分精细。在左侧,单元被划分为最密集的区域,并且存在应力集中(如裂纹问题的奇异解现象),因此有相应的先进理论(比如non-localtheory)来指导单元这一部分的应力和应变计算。结构有选择地离散化,先进的理论构成了有限元发展的主要研究方向。

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